レニングラード数学オリンピアード

$4$ つの異なる $1$ 桁の数が与えられている．それらの数をちょうど $1$ 回ずつ使ってできる最大の $4$ 桁の数を作る．そして，それらの数をちょうど $1$ 回ずつ使ってできる最小の（$0$ から始まらない）$4$ 桁の数を作る．これら $2$ つの数の和を $x$ とする．与えられた $4$ つの数がだた $1$ つしかないような $x$ をすべて決定できるだろうか．

次の命題が正しければ証明を与え，間違っているのであれば反例を挙げよ「次の条件を満たす $2$ つの $k$ 桁の数は，$k\ge 4$ のとき，だた $1$ 組のみである：一方の数をもう一方の数の後ろに書くことで得られる $2k$ 桁の数が，それらの数の積によって割り切れる．」

アダムはベティより $2$ 歳年上である．彼らの年齢の平方の各桁の和が同じになるとき，その和を $1000$ 歳までの範囲で調べてみると $10,19,28,37,46$ であった．この数列は公差 $9$ の等差数列になっているが，このようになる理由はあるのだろうか？さらに，和の範囲を広げても，上記の数のみしか現れないのだろうか？

$x$ と $y$ を正の整数とする．$x$，$-x$，$y$，$-y$ を用いて，次を満たすできるだけ長い数列を作れ：どの連続 $x$ 数の和も負であり，どの連続 $y$ 数の和も正であるという性質を持つ．

円周上に $n$ 点が均等に配置されている．$n$ 点は白か黒である．「どの $2$ つの黒点の間にも $2$ つ以上の白点が存在するならば，白点が頂点である正三角形が $m$ 個以上必ず存在する」という命題が正しくなる $m$ の最大値を求めよ．